यदि overrightarrow{a}, overrightarrow{b} और o | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ शून्येतर समतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,अर

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(B) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ शून्येतर समतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$. हमें $[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}]$ का मान ज्ञात करना है। अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार: $[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}] = (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [(3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) 	imes (4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})]$ $= (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [12(\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) - 3(\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{a}) - 4(\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a})]$ चूंकि $\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{c} = 0$,व्यंजक सरल होकर निम्न रूप लेता है: $= (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [12(\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) - 3(\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a})]$ $= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - 6[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] + 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 12[\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 3[\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] - [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$ किसी भी अदिश त्रिक गुणनफल में यदि दो सदिश समान हों तो उसका मान शून्य होता है,इसलिए $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] = 0, [\overrightarrow{a} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] = 0, [\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0, [\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] = 0$. अतः,व्यंजक निम्न हो जाता है: $= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$ चूंकि $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$,इसलिए: $= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 23[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ समतलीय हैं,अतः $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$. इसलिए,$23 	imes 0 = 0$.

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