જો $\cos A+\cos B+\cos C=0$ અને $\sin A+\sin B+\sin C=0$ હોય,તો $\cos (A-B)=$

ધારો કે $A = \left\{ \frac{1967 + 1686 i \sin \theta}{7 - 3 i \cos \theta} : \theta \in R \right\}$. જો $A$ માં બરાબર એક ધન પૂર્ણાંક $n$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $z_1, z_2$ અને $z_3$ એ વર્તુળ $|z|=1$ પરના ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ છે,જેમાં $\arg(z_1) = \frac{-\pi}{4}, \arg(z_2) = 0$ અને $\arg(z_3) = \frac{\pi}{4}$ છે. જો $|z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1|^2 = \alpha + \beta \sqrt{2}$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$ જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ હોય,તો $(1 + iz + z^5 + iz^8)^9$ ની કિંમત શોધો.

જો $(x+iy)^{3}=u+iv$ હોય,તો સાબિત કરો કે: $\frac{u}{x}+\frac{v}{y}=4(x^{2}-y^{2})$

જો $\tan (u + iv) = i$ હોય,તો $v$ ની કિંમત શું થાય?