यदि $r_1$ और $r_2$ उन दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं जो $(x \pm r)^2 + (y \pm r)^2 = r^2$ द्वारा दिए गए चारों वृत्तों को स्पर्श करते हैं,तो $\frac{r_1+r_2}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$O$ केंद्र वाले एक वृत्त में,मान लीजिए $A, P, B$ इसकी परिधि पर तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि $P$ लघु चाप $AB$ का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए जब $\angle AOB = \theta$ है,तब $\frac{\text{area}(\triangle AOB)}{\text{area}(\triangle APB)} = \sqrt{5} + 2$ है। यदि $\angle AOB$ को दोगुना करके $2\theta$ कर दिया जाए,तो अनुपात $\frac{\text{area}(\triangle AOB)}{\text{area}(\triangle APB)}$ क्या होगा?

यदि बिंदु $(1, 2)$ से वृत्तों $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ और $3x^2 + 3y^2 - x - y + k = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $4 : 3$ है,तो $k = \dots$

$S_1$ और $S_2$ क्रमशः $1$ और $2$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रित वृत्त हैं। $S_1$ की दो समानांतर स्पर्श रेखाएँ $S_2$ से एक चाप काटती हैं। चाप की लंबाई है

$1$ इकाई त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्त की रचना व्यास $AB$ पर की गई है और मान लीजिए $O$ इसका केंद्र है। मान लीजिए $C$,$AO$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $AC:CO = 2:1$ है। $AO$ पर लंब $CD$ खींचिए जहाँ $D$ अर्धवृत्त पर है। $AD$ पर लंब $OE$ खींचिए जहाँ $E$,$AD$ पर है। मान लीजिए $OE$ और $CD$ एक-दूसरे को $H$ पर काटते हैं। तो,$DH$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्तों $x^2+y^2+4x-6y-3=0$ और $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ पर खींची जा सकने वाली संभावित उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है