यदि $a>0$ और $\left(a x^3+\frac{c}{x}\right)^6$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक $60$ है,तो $a c^2=$

$k$ के उन सभी संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ के विस्तार में ठीक नौ अपरिमेय पद हों।

यदि $(1+x)^{42}$ के विस्तार में $(2r+1)^{\text{th}}$ पद और $(r+1)^{\text{th}}$ पद के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान क्या हो सकता है?

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ के विस्तार में,यदि $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{1}$ है और $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{2}$ है,तो अनुपात $\ell_{2} : \ell_{1}$ बराबर है

जब $a = \frac{1}{4}$ और $b = \frac{2}{3}$ हो,तो $(2a - 3b)^{19}$ के द्विपद विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद क्या है?

यदि $(3+7x)^{29}$ के विस्तार में $r$-वें और $(r+1)$-वें पदों के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।