यदि $(1+x)^{42}$ के विस्तार में $(2r+1)^{\text{th}}$ पद और $(r+1)^{\text{th}}$ पद के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान क्या हो सकता है?

माना $\left(\sqrt{x} - \frac{6}{x^{3/2}}\right)^n$,$n \leq 15$ के द्विपद विस्तार में $\alpha$ अचर पद है। यदि विस्तार में शेष पदों के गुणांकों का योग $649$ है और $x^{-n}$ का गुणांक $\lambda \alpha$ है,तो $\lambda$ का मान $..........$ है।

यदि $(1 + x)^n$ के विस्तार में $p^{th}$,$(p + 1)^{th}$ और $(p + 2)^{th}$ पदों के गुणांक $A.P.$ में हैं,तो

$(1+x)(1-x^2)(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3})^5, x \neq 0$ के विस्तार में,$x^3$ और $x^{-13}$ के गुणांकों का योग किसके बराबर है?

$n \in N$ के लिए,$\left(\sqrt[4]{x^{-3}}+a \sqrt[4]{x^5}\right)^n$ के विस्तार में,सभी द्विपद गुणांकों का योग $200$ और $400$ के बीच है और $x$ से स्वतंत्र पद $448$ है। तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$(1+x)^{n+5}$ के द्विपद विस्तार में तीन क्रमागत पदों के गुणांकों का अनुपात $5: 10: 14$ है,तो इस विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक क्या है?