यदि $(l, m)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ में अंतर्निहित एक समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र है,जिसके शीर्ष $\theta_1, \theta_2$ और $\theta_3$ उत्केंद्र कोण वाले बिंदुओं पर हैं,तो $\frac{2}{3}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\cos \left(\theta_2-\theta_3\right)+\cos \left(\theta_3-\theta_1\right)\right]=$

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(2, -3)$ है,एक नाभि $(3, -3)$ है और संगत शीर्ष $(4, -3)$ है।

बिंदु $(2, 3)$ पर दीर्घवृत्त $9x^2 + 4y^2 = 72$ के स्पर्शरेखा और अभिलंब द्वारा $X$-अक्ष के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

एक बिंदु की एक निश्चित बिंदु और रेखा $x = 9/2$ से दूरी का अनुपात हमेशा $2 : 3$ रहता है। तो उस बिंदु का बिंदुपथ क्या होगा?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ के नाभिलंब के सभी सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। इस प्रकार बने चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर दो अलग-अलग बिंदु हैं,इस प्रकार कि $y_1 > 0$ और $y_2 > 0$ है। मान लीजिए $C$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को दर्शाता है,और $M$ बिंदु $(3,0)$ है। मान लीजिए रेखा $x=x_1$,$C$ को $R$ पर काटती है,और रेखा $x=x_2$,$C$ को $S$ पर काटती है,इस प्रकार कि $R$ और $S$ के $y$-निर्देशांक धनात्मक हैं। मान लीजिए $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ और $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ को दर्शाता है। मान लीजिए $|XY|$ रेखाखंड $XY$ की लंबाई को दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $2x+3y=3(1+\sqrt{3})$ है
$(B)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $2x+y=3(1+\sqrt{3})$ है
$(C)$ यदि $N_2=(x_2, 0)$ है,तो $3|N_2Q|=2|N_2S|$
$(D)$ यदि $N_1=(x_1, 0)$ है,तो $9|N_1P|=4|N_1R|$