જો $\tan \theta_1 \times \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$ હોય,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના $2$ બિંદુઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ ને જોડતી જીવા કયા બિંદુએ કાટખૂણો આંતરશે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરના બિંદુ $P(-6, 2)$ નો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ (eccentric angle) શોધો: ($^{\circ}$ માં)

$9x^2 + 25y^2 - 90x - 150y + 225 = 0$ ના લેટસ રેક્ટમ (latus rectum) ની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $S$ અને $S^{\prime}$ એ ઉપવલય $E$ ના નાભિઓ છે અને $B$ એ તેના ગૌણ અક્ષનો એક અંત્યબિંદુ છે. ધારો કે $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$ અને $(2 \sqrt{3}, 1)$ એ $E$ પરનું એક બિંદુ છે. જો $X$-અક્ષ એ ઉપવલય $E$ નો મુખ્ય અક્ષ અને $Y$-અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ હોય,તો મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ઉપવલય $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{6}$ ચોરસ એકમ છે. તો,ઉપવલયનું સમીકરણ નીચેનામાંથી કયું છે?