यदि $A = \begin{bmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{bmatrix}$ और $A A^T = I$ है,तो $p^3 + q^3 + r^3 =$ . . . . . .

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ और $P = [p_{ij}]$ एक $n \times n$ आव्यूह है जिसमें $p_{ij} = \omega^{i+j}$ है। तो $n =$ होने पर $P^2 \neq 0$ होगा।

मान लीजिए $A$ क्रम $3$ का एक नॉन-सिंगुलर आव्यूह है। यदि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A))) = 3^{-13} \cdot 2^{-10}$ और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = 2^m \cdot 3^n$ है,तो $|3m + 2n|$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना न्यूनतम $m$ $(m \in Z^+)$ एक वर्ग आव्यूह $A$ की घात के रूप में परिभाषित है ताकि $A^m = I$ हो। यदि $A^5 = I$ और $ABA^{-1} = B^2$ है,तो आव्यूह $B$ की घात $k$ जिसके लिए $B^k = I$ हो,किसके बीच है?

यदि $a_{r} = \cos \frac{2 r \pi}{9} + i \sin \frac{2 r \pi}{9}$,$r = 1, 2, 3, \ldots$,$i = \sqrt{-1}$ है,तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9}\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रम $3 \times 3$ के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं। यदि $\det(ABA^T) = 8$ और $\det(AB^{-1}) = 8$ है,तो $\det(BA^{-1}B^T)$ का मान ज्ञात कीजिए।