यदि $\sum_{k=1}^n \tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} ( \theta )$ है,तो $\theta =$

मान लीजिए $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$ और $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$, जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं। नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $\cos(\alpha + \beta) > 0$.
कथन $II$: $\cos(\alpha) < 0$.
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

दिया गया है कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान ग्रहण करता है। मान लीजिए $x, y$ अंतराल $[-1, 1]$ में कोई दो वास्तविक संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$,जहाँ $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ है। तब,$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha$ का न्यूनतम मान है

फलन $f(x) = \cos^{-1}x + 2\cot^{-1}x - 2x^3 - 4x$ के न्यूनतम और अधिकतम मानों का योग क्या है?

सूची $I$ का सूची $II$ के साथ मिलान करें और सूचियों के नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:

सूची $I$	सूची $II$
$P$. $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$ का मान है	$1$. $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$
$Q$. यदि $\cos x+\cos y+\cos z=0=\sin x+\sin y+\sin z$ है,तो $\cos \frac{x-y}{2}$ का संभावित मान है	$2$. $\sqrt{2}$
$R$. यदि $\cos (\frac{\pi}{4}-x) \cos 2 x+\sin x \sin 2 x \sec x=\cos x \sin 2 x \sec x+\cos (\frac{\pi}{4}+x) \cos 2 x$ है,तो $\sec x$ का संभावित मान है	$3$. $\frac{1}{2}$
$S$. यदि $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2})=\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})), x \neq 0$ है,तो $x$ का संभावित मान है	$4$. $1$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

$50 \tan \left(3 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)+4 \sqrt{2} \tan \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 \sqrt{2})\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।