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Question

(D) दिया गया है $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$ ... $(i)$ मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है। तब समीकरण $h(x+y) = h(x) + h(y)$ बन जाता है,जो कौशी का कार्या

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$\phi$

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(D) दिया गया है $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$ ... $(i)$ मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है। तब समीकरण $h(x+y) = h(x) + h(y)$ बन जाता है,जो कौशी का कार्यात्मक समीकरण है। इसका हल $h(x) = cx$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है। दिया गया है $g(1) = 2$ और $f(2) = 1$,इसलिए $h(1) = f(g(1)) = f(2) = 1$ है। चूंकि $h(1) = c(1) = 1$,इसलिए $c = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$h(x) = f(g(x)) = x$ है। चूंकि $f(g(x)) = x$ है,इसलिए $f$ और $g$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं। इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $g(f(x)) = x$ है। फलन $g(f(x)) = x$ एक बहुपद फलन है,जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर हर जगह सतत है। अतः,वह समुच्चय जहाँ $g(f(x))$ असंतत है,रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो वास्तविक मान वाले फलन इस प्रकार हैं कि $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$,$g(1) = 2$ और $f(2) = 1$,तो फलन $g(f(x))$ किस समुच्चय पर असंतत है?

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