यदि f(x) = begin{cases} frac{x^2 ln cos x}{ln | vedclass

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Question

(C) $x = 0$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम पहले सीमा $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मूल्यांकन करते हैं।$\lim_{x 	o 0} \frac{x^2 \ln \cos x}

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$0$ पर अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(C) $x = 0$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम पहले सीमा $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मूल्यांकन करते हैं।$\lim_{x 	o 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln(1 + x^2)} = \lim_{x 	o 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} ight) 	imes \ln \cos x$.चूँकि $\lim_{x 	o 0} \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} = 1$ और $\lim_{x 	o 0} \ln \cos x = \ln(1) = 0$,इसलिए सीमा $1 	imes 0 = 0$ है।चूँकि $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$,फलन $x = 0$ पर संतत है।अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1 + h^2)} = \lim_{h 	o 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1 + h^2)}$.मानक सीमाओं $\lim_{h 	o 0} \frac{\ln(1 + h^2)}{h^2} = 1$ और $\lim_{h 	o 0} \frac{\ln \cos h}{h^2} = -\frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \left( \frac{h^2}{\ln(1 + h^2)} ight) 	imes \left( \frac{\ln \cos h}{h^2} ight) 	imes h = 1 	imes (-\frac{1}{2}) 	imes 0 = 0$.चूँकि सीमा का अस्तित्व है और यह परिमित है,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln(1 + x^2)}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$,तो $f(x)$ है

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