यदि int [ cos(x) cdot frac{d}{dx}(csc(x)) ] d | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int [ \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(\csc(x)) ] dx$ दिया गया है। सबसे पहले,हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cot(x)

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$x \cot(x)$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int [ \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(\csc(x)) ] dx$ दिया गया है। सबसे पहले,हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cot(x)$ होता है। इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int [ \cos(x) \cdot (-\csc(x) \cot(x)) ] dx$ $I = - \int [ \cos(x) \cdot \frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ] dx$ $I = - \int [ \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} ] dx$ $I = - \int \cot^2(x) dx$ सर्वसमिका $\cot^2(x) = \csc^2(x) - 1$ का उपयोग करने पर: $I = - \int (\csc^2(x) - 1) dx$ $I = - \int \csc^2(x) dx + \int 1 dx$ चूंकि $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x)$,इसलिए: $I = -(-\cot(x)) + x + c$ $I = \cot(x) + x + c$ इसकी तुलना $f(x) + g(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \cot(x)$ और $g(x) = x$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) \cdot g(x) = x \cot(x)$।

यदि $\int [ \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(\csc(x)) ] dx = f(x) + g(x) + c$ है,तो $f(x) \cdot g(x) =$

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