यदि int e^x left(frac{x+2}{x+4}right)^2 dx = | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ दिया गया है। सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पद को फिर से लिखते हैं: $\frac{x+2}{x+4} = \

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$\frac{x e^x}{x+4}$

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(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ दिया गया है। सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पद को फिर से लिखते हैं: $\frac{x+2}{x+4} = \frac{x+4-2}{x+4} = 1 - \frac{2}{x+4}$. अतः,$\left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 = \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 = 1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}$. अब,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$. हम जानते हैं कि मानक रूप $\int e^x [g(x) + g'(x)] dx = e^x g(x) + C$ होता है। माना $g(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$. तब $g'(x) = -\left(-\frac{4}{(x+4)^2}\right) = \frac{4}{(x+4)^2}$. इसलिए,$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + C = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + C = \frac{x e^x}{x+4} + C$. अतः,$f(x) = \frac{x e^x}{x+4}$.

यदि $\int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx = f(x) + C$ है,तो $f(x) =$

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