यदि A = int_{1}^{sin theta} frac{t}{1+t^2} dt | vedclass

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Question

(A) सबसे पहले,$A$ का मान ज्ञात करें: $A = \int_{1}^{\sin 	heta} \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} [\ln(1+t^2)]_{1}^{\sin 	heta} = \frac{1}{2} \ln(1+\

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$0$

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(A) सबसे पहले,$A$ का मान ज्ञात करें: $A = \int_{1}^{\sin 	heta} \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} [\ln(1+t^2)]_{1}^{\sin 	heta} = \frac{1}{2} \ln(1+\sin^2 	heta) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 	heta}{2})$.इसके बाद,$B$ का मान ज्ञात करें: $B = \int_{1}^{\operatorname{cosec} 	heta} \frac{1}{t(1+t^2)} dt$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.अतः,$B = [\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)]_{1}^{\operatorname{cosec} 	heta} = [\ln(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})]_{1}^{\operatorname{cosec} 	heta}$.चूंकि $\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\operatorname{cosec} 	heta}{\sqrt{1+\operatorname{cosec}^2 	heta}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 	heta + 1}}$,इसलिए $B = \ln(\frac{1}{\sqrt{1+\sin^2 	heta}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\sqrt{\frac{2}{1+\sin^2 	heta}}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 	heta}{2}) = -A$.इस प्रकार,$A+B = 0$,जिसका अर्थ है कि $e^{A+B} = e^0 = 1$.सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \ 1 & (-A)^2 & -1 \ 1 & A^2+(-A)^2 & -1 \end{array} ight| = \left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \ 1 & A^2 & -1 \ 1 & 2A^2 & -1 \end{array} ight|$ बन जाता है।चूंकि पहला और तीसरा स्तंभ आनुपातिक हैं (तीसरा स्तंभ पहले स्तंभ का $-1$ गुना है),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

यदि $A = \int_{1}^{\sin \theta} \frac{t}{1+t^2} dt$ और $B = \int_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} \frac{1}{t(1+t^2)} dt$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & B \\ e^{A+B} & B^2 & -1 \\ 1 & A^2+B^2 & -1 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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