જો m in Z^{+},n=2m અને int_0^{frac{pi}{2}} si | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Ga

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{m+2} \cdot \frac{1}{m+4} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{3m}$

Vedclass · Answer

(A) વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.આપેલ છે કે $n=2m$,તેથી સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{2m+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{3m+2}{2})}$ બને છે.વળી,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+2}{2})}$.તેથી,$K(m) = \frac{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx} = \frac{\Gamma(\frac{2m+1}{2}) \Gamma(\frac{m+2}{2})}{\Gamma(\frac{3m+2}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}$.ડુપ્લિકેશન સૂત્ર $\Gamma(z) \Gamma(z + \frac{1}{2}) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z)$ નો ઉપયોગ કરીને,$K(m)$ ને સાદું રૂપ આપતા ગુણાકાર સ્વરૂપ મળે છે:$K(m) = \frac{(2m-1)!! (m-1)!}{2^{m-1} (3m-1)!!} \cdot \dots$$\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m)$ માં કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1}{m+2} \cdot \frac{1}{m+4} \cdot \dots \cdot \frac{1}{3m}$ મળે છે.

જો $m \in Z^{+}$,$n=2m$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ હોય,તો $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

Similar Questions

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ ની અંતિમ કિંમત (extremum value) શોધો.

જો $x$ એ સમીકરણ $\left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1} \right) x^2 - \left( \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt \right) x - 2 = 0$ $(0 < \alpha < \pi)$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ હોય,તો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n \in N$):

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module