यदि $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$,$b=m \hat{i}+n \hat{j}+12 \hat{k}$ और $a \times b=0$ है,तो $(m, n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ और $R(0, 2, 1)$ समतलीय हैं,तो इन बिंदुओं वाले समतल के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$, $\overrightarrow{c}=\hat{i}$ और $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$ है, तो $\lambda+\mu$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3 \hat{i} - \beta \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,तीन सदिश हैं। यदि $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}, \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ हैं। यदि $A$ को मूल बिंदु (origin) के रूप में चुना जाता है,तो $B$ और $C$ के स्थिति सदिशों का सदिश गुणनफल (cross product) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=((\overrightarrow{a} \times(\hat{i}+\hat{j})) \times \hat{i}) \times \hat{i}$ है। तो $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का वर्ग ज्ञात कीजिए: