यदि $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ वृत्तों $S \equiv x^2+y^2+\alpha x+6y=0$,$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+2\alpha x+\alpha y+6=0$ और $S^{\prime\prime} \equiv x^2+y^2+6\alpha x-\alpha y+3=0$ का रेडिकल केंद्र है,तो रेडिकल केंद्र और वृत्त $S^{\prime}=0$ के केंद्र के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P$ से वृत्तों $x^2+y^2-8x+40=0$,$5x^2+5y^2-25x+80=0$ और $x^2+y^2-8x+16y+160=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,तो बिंदु $P$ क्या है?

$r$ के उन सभी मानों का समुच्चय, जिनके लिए वृत्त $(x+1)^{2}+(y+4)^{2}=r^{2}$ और $x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$ दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, अंतराल $(\alpha, \beta)$ है। तो $\alpha\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वृत्त $x^2 + y^2 + 2x + 2ky + 6 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2ky + k = 0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,तो $k = ..........$

रेखा $Ax + By + C = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ को $P$ और $Q$ पर काटती है और रेखा $A'x + B'y + C' = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 + a'x + b'y + c' = 0$ को $R$ और $S$ पर काटती है। यदि चारों बिंदु $P, Q, R$ और $S$ एक ही वृत्त पर स्थित हैं (concyclic),तो $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - a'}&{b - b'}&{c - c'}\\A&B&C\\{A'}&{B'}&{C'}\end{array}} \right| = $

वृत्त $S=0$,वृत्तों $C_1=x^2+y^2-8x-2y+16=0$ और $C_2=x^2+y^2-4x-4y-1=0$ को लंबकोणीय (orthogonally) काटता है। यदि $S=0$ और $C_1=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $2x+13y-15=0$ है,तो $S=0$ का केंद्र ज्ञात कीजिए।