r के उन सभी मानों का समुच्चय, जिनके लिए वृत्त | vedclass

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Question

(A) पहला वृत्त $C_1: (x+1)^2+(y+4)^2=r^2$ है, जिसका केंद्र $O_1(-1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = |r|$ है।दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$ है। मानक रूप

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$25$

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(A) पहला वृत्त $C_1: (x+1)^2+(y+4)^2=r^2$ है, जिसका केंद्र $O_1(-1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = |r|$ है।दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$ है। मानक रूप में: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 9$, अतः केंद्र $O_2(2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए, उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = O_1O_2$ को $|r_1 - r_2| $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ प्राप्त करते हैं।अतः, $|r - 3| $|r - 3| $|r| + 3 > \sqrt{34}$ से, $|r| > \sqrt{34} - 3$ मिलता है। चूँकि $r > 0$, इसलिए $r \in (\sqrt{34} - 3, \sqrt{34} + 3)$ मिलता है।इस प्रकार, $\alpha = \sqrt{34} - 3$ और $\beta = \sqrt{34} + 3$.$\alpha\beta = (\sqrt{34} - 3)(\sqrt{34} + 3) = 34 - 9 = 25$.

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$(1,1)$ से गुजरने वाले और $x^2+y^2+13x-3y=0$ तथा $2x^2+2y^2+4x-7y-25=0$ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है

दो वृत्तों $x^2 + y^2 - x + 1 = 0$ और $3(x^2 + y^2) + y - 1 = 0$ की मूलाक्ष (Radical axis) का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 8y - q = 0$ की परिधि वृत्त $x^2 + y^2 + 4x + 12y + p = 0$ द्वारा समद्विभाजित होती है,तो $p + q$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $C_1$ और $C_2$ वृत्तों $x^2+y^2+6x+8y+24=0$ और $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ के समानता के केंद्र (centres of similitude) हैं,तो $C_1C_2=$

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