यदि x neq -1 और int frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$. अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1) - 1(x+1) = (x^2-1)(x+

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-3}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$. अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1) - 1(x+1) = (x^2-1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$. हर का गुणनखंड करने पर: $x^4(x+1) + 3x^2(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x^4+3x^2+1)$. अतः, $I = \int \frac{(x-1)(x+1)^2}{(x+1)(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx = \int \frac{(x^2-1)}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$. अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{(x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}) 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{((x + \frac{1}{x})^2 + 1) 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx$. माना $u = 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})$, तो $du = \frac{1}{1 + (x + \frac{1}{x})^2} \cdot (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. इस प्रकार, $I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + C = \log|	an^{-1}(x + \frac{1}{x})| + C$. $A \log(f(x)) + C$ से तुलना करने पर, हमें $A = 1$ और $f(x) = 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है। अतः $f(2) = 	an^{-1}(2 + \frac{1}{2}) = 	an^{-1}(\frac{5}{2})$. इसलिए, $A - 	an(f(2)) = 1 - 	an(	an^{-1}(\frac{5}{2})) = 1 - \frac{5}{2} = \frac{-3}{2}$.

यदि $x \neq -1$ और $\int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx = A \log(f(x)) + C$ है, तो $A - \tan(f(2)) = $

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$\int \frac{\sin(2x)}{\sin^2(x) + 2\cos^2(x)} dx = $

निम्नलिखित में से किस फलन के लिए प्रतिस्थापन ${x^2} = t$ लागू होता है?

$\int x\sqrt{1 + x^2} \, dx = $

$\int \left( \frac{4 \tan^4 x + 3 \tan^2 x - 1}{\tan^2 x + 4} \right) dx =$

$\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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