यदि f(x) और g(x) दो बहुपद इस प्रकार हैं कि ph | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\phi(x) = f(x^3) + x g(x^3)$, $x^2 + x + 1$ से विभाज्य है। माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है, तो $\omega^2 + \omega + 1 =

Vedclass · Accepted Answer

$\phi(x)$, $(x-1)$ से विभाज्य है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\phi(x) = f(x^3) + x g(x^3)$, $x^2 + x + 1$ से विभाज्य है। माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है, तो $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है। चूंकि $\phi(x)$, $x^2 + x + 1$ से विभाज्य है, इसलिए $\phi(\omega) = 0$ होगा। $\phi(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$। इसी प्रकार, $\phi(\omega^2) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$। दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\omega - \omega^2) g(1) = 0$। चूंकि $\omega 
eq \omega^2$, इसलिए $g(1) = 0$ होगा। $f(1) + \omega g(1) = 0$ में $g(1) = 0$ रखने पर, $f(1) = 0$ प्राप्त होता है। अतः, $f(1) = 0$ और $g(1) = 0$ होने के कारण, $f(x)$ और $g(x)$ दोनों $(x-1)$ से विभाज्य हैं।

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो बहुपद इस प्रकार हैं कि $\phi(x) = f(x^3) + x g(x^3)$, $x^2 + x + 1$ से विभाज्य है, तो

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