यदि omega इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है, तो (2 | vedclass

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Question

(A) माना सामान्य पद $T_k = (k-1)(k-\omega)(k-\omega^2)$ है, जहाँ $k=2$ से $n$ तक है।चूंकि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है, हमारे पास $\omega^3 =

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$\frac{n^{2}}{4}(n+1)^{2}-n$

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(A) माना सामान्य पद $T_k = (k-1)(k-\omega)(k-\omega^2)$ है, जहाँ $k=2$ से $n$ तक है।चूंकि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है, हमारे पास $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है, जिसका अर्थ है $\omega + \omega^2 = -1$।पद का विस्तार करने पर: $T_k = (k-1)(k^2 - k(\omega + \omega^2) + \omega^3) = (k-1)(k^2 + k + 1) = k^3 - 1$।योग $S = \sum_{k=2}^{n} (k^3 - 1)$ है।इसे $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) - (1^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ और $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n$।

यदि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है, तो $(2-\omega)(2-\omega^{2}) + 2(3-\omega)(3-\omega^{2}) + \ldots + (n-1)(n-\omega)(n-\omega^{2})$ का मान क्या है?

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