यदि $(1-x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ है, तो $a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1 + x)^n$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग क्या है?

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो $(2n+1) ^nC_0 + (2n-1) ^nC_1 + (2n-3) ^nC_2 + \ldots + 1 \cdot ^nC_n$ का मान क्या है?

$^nC_0, ^nC_1, ^nC_2, \dots, ^nC_n$ का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

कथन $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$
कथन $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$

मान लीजिए $\alpha = \sum_{k=0}^n \left( \frac{({ }^n C_k)^2}{k+1} \right)$ और $\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{{ }^n C_k \cdot { }^n C_{k+1}}{k+2} \right)$ है। यदि $5 \alpha = 6 \beta$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए: