यदि $a_{n} (>0)$ एक $G$.$P$. का $n$-वाँ पद है, तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll}\log a_{n} & \log a_{n+1} & \log a_{n+2} \\ \log a_{n+3} & \log a_{n+4} & \log a_{n+5} \\ \log a_{n+6} & \log a_{n+7} & \log a_{n+8}\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

यदि $a \ne p, b \ne q, c \ne r$ और $\begin{vmatrix} p & b & c \\ p + a & q + b & 2c \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0$ है,तो $\frac{p}{p - a} + \frac{q}{q - b} + \frac{r}{r - c} = $

मान लीजिए $a, b, c$ इस प्रकार हैं कि $b + c \ne 0$। यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ (-1)^{n+2} \cdot a & (-1)^{n+1} \cdot b & (-1)^n \cdot c \end{array} \right| = 0$ है,तो $n$ किसके बराबर है?

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|=(5x+4)(4-x)^{2}$

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$

यदि $\Delta _1 = \left| \begin{matrix} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{matrix} \right|$ और $\Delta _2 = \left| \begin{matrix} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{matrix} \right|$ है,तो $\Delta _1 \Delta _2$ का मान ज्ञात कीजिए।