मान लीजिए a, b, c इस प्रकार हैं कि b + c ne 0 | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है। सबसे पहले,हम देखते हैं कि दूसरे सारणिक $D_2$ को उसके मान को बदले बिना ट्रांसपोज़ किया जा सकता है।

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कोई भी विषम पूर्णांक

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(C) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है। सबसे पहले,हम देखते हैं कि दूसरे सारणिक $D_2$ को उसके मान को बदले बिना ट्रांसपोज़ किया जा सकता है। $D_2 = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a-1 & (-1)^{n+2}a \ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1}b \ c-1 & c+1 & (-1)^n c \end{array} ight|$. दोनों सारणिकों को जोड़ने पर,हम पाते हैं कि $a, b, c$ के किसी भी मान के लिए योग शून्य होने के लिए स्तंभों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। विशेष रूप से,यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो $(-1)^{n+2} = -1$,$(-1)^{n+1} = 1$,और $(-1)^n = -1$ होता है। इन मानों को सारणिकों के योग में प्रतिस्थापित करने पर,पद शून्य हो जाते हैं। अतः,$n$ कोई भी विषम पूर्णांक होना चाहिए।

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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{3}$

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