यदि f(x) एक विषम अवकलनीय फलन है जो (-infty, i | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम अवकलनीय फलन है। विषम फलन की परिभाषा के अनुसार, $f(-x) = -f(x)$ होता है। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए

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(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम अवकलनीय फलन है। विषम फलन की परिभाषा के अनुसार, $f(-x) = -f(x)$ होता है। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[-f(x)]$ $-f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$ $f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$ यह दर्शाता है कि एक विषम फलन का अवकलज एक सम फलन होता है। अब, समीकरण $f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$ में $x = 3$ रखने पर: $f^{\prime}(-3) = f^{\prime}(3)$ चूँकि हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(3) = 2$, इसलिए: $f^{\prime}(-3) = 2$.

यदि $f(x)$ एक विषम अवकलनीय फलन है जो $(-\infty, \infty)$ पर परिभाषित है और $f^{\prime}(3)=2$ है, तो $f^{\prime}(-3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $g(x)$, $f(x)$ का प्रति-अवकलज (anti-derivative) है। तो वह फलन जिसके लिए $\log _e(1+(g(x))^2)+c$ एक प्रति-अवकलज है, वह है:

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${x^3}$ के सापेक्ष ${x^6}$ का अवकल गुणांक है

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