જો $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x}, & x \ne 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય,તો $k = $

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે $f(0)=1$ અને તમામ $x \in R$ માટે $f(2x)-f(x)=x$ નું પાલન કરે છે. જો $\lim_{n \rightarrow \infty} \{f(x)-f(\frac{x}{2^n})\} = G(x)$ હોય,તો $\sum_{r=1}^{10} G(r^2)$ ની કિંમત શોધો.

જો એક વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય $f(x) = \begin{cases} \log(1+[x]), & x \geq 0 \\ \sin^{-1}[x], & -1 \leq x < 0 \\ k([x]+|x|), & x < -1 \end{cases}$ એ $x = -1$ આગળ સતત હોય,તો $k =$

જો $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x + 1}, & x \neq -1 \\ -2, & x = -1 \end{cases}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} (1+ax)^{1/x} & , x < 0 \\ 1+b & , x = 0 \\ \frac{(x+4)^{1/2}-2}{(x+c)^{1/3}-2} & , x > 0 \end{cases}$ એ $x=0$ આગળ સતત છે. તો $e^2bc$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન-$1$: સમીકરણ $x \log x = 2 - x$ એ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે રહેલી $x$ ની ઓછામાં ઓછી એક કિંમત દ્વારા સંતોષાય છે.
વિધાન-$2$: વિધેય $f(x) = x \log x$ એ $[1, 2]$ માં વધતું વિધેય છે અને $g(x) = 2 - x$ એ $[1, 2]$ માં ઘટતું વિધેય છે,અને આ વિધેયો દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા આલેખ $[1, 2]$ માં એક બિંદુએ છેદે છે.