यदि (1-x^3)^{10} = sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1- | vedclass

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Question

(A) दिया गया सर्वसमिका $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ है।हम जानते हैं कि $(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)$ होता है।अतः, $(1-x^3)^{10}

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$1$

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(A) दिया गया सर्वसमिका $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ है।हम जानते हैं कि $(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)$ होता है।अतः, $(1-x^3)^{10} = (1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10}$।इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$।दोनों पक्षों को $(1-x)^{10}$ से विभाजित करने पर, हमें $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{20-2r}$ प्राप्त होता है।$r=10$ के लिए, पद $a_{10} x^{10} (1-x)^0 = a_{10} x^{10}$ है। $(1+x+x^2)^{10}$ में $x^{10}$ का गुणांक $a_{10}$ है।मल्टिनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए, $(1+x+x^2)^{10}$ में $x^{10}$ का गुणांक $\sum \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!}$ है जहाँ $n_1+n_2+n_3=10$ और $n_2+2n_3=10$ है।$a_9$ के लिए, हम विस्तार में $x^9$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।गुणांकों की गणना करने के बाद, हमें $a_{10} = 1$ और $a_9 = 1/9$ प्राप्त होता है।इसलिए, $\frac{9a_9}{a_{10}} = \frac{9(1/9)}{1} = 1$।

यदि $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ है, तो $\frac{9a_9}{a_{10}}$ का मान . . . . . . है।

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