यदि {y^2} = a{x^2} + bx + c है,तो {y^3}frac{{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है ${y^2} = a{x^2} + bx + c$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y\frac{{dy}}{{dx}} = 2ax + b \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2ax + b

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एक स्थिरांक

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है ${y^2} = a{x^2} + bx + c$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y\frac{{dy}}{{dx}} = 2ax + b \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2ax + b}}{{2y}}$. पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} + 2y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 2a$. $2$ से विभाजित करने पर: ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} + y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a$. $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2ax + b}}{{2y}}$ प्रतिस्थापित करने पर: $y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a - {\left( {\frac{{2ax + b}}{{2y}}} \right)^2} = a - \frac{{{{(2ax + b)}^2}}}{{4{y^2}}}$. $y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{4a{y^2} - {{(2ax + b)}^2}}}{{4{y^2}}}$. ${y^2} = a{x^2} + bx + c$ प्रतिस्थापित करने पर: $4{y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 4a(a{x^2} + bx + c) - (4{a^2}{x^2} + 4abx + {b^2})$. $4{y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 4{a^2}{x^2} + 4abx + 4ac - 4{a^2}{x^2} - 4abx - {b^2} = 4ac - {b^2}$. अतः,${y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{4ac - {b^2}}}{4}$,जो कि एक स्थिरांक है।

यदि ${y^2} = a{x^2} + bx + c$ है,तो ${y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ है

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