જો $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$,$\forall x, y \in R$ અને $f'(0) = 0$ હોય,તો

$x$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ શોધો જેના માટે $f(x) = ||x| - 1|$ વિકલનીય છે.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ અને $g : R \rightarrow R$ એવા વિધેયો છે જે $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$ અને $f(x)=x g(x)$ તમામ $x, y \in R$ માટે સંતોષે છે. જો $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $f$ દરેક $x \in R$ પર વિકલનીય છે
$(B)$ જો $g(0)=1$ હોય,તો $g$ દરેક $x \in R$ પર વિકલનીય છે
$(C)$ વિકલિત $f^{\prime}(1)$ એ $1$ ની બરાબર છે
$(D)$ વિકલિત $f^{\prime}(0)$ એ $1$ ની બરાબર છે

જે બિંદુઓના ગણ પર $f(x) = \frac{x}{4+|x|}$ વિકલનીય છે તે છે

વિધેય $f(x) = (x^2 - 1) | x^2 - x - 2 | + \sin(|x|)$ જે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી,તેવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવતું હોય,તો વિધેય $f(x) = 4|2x + 3| + 9[x + \frac{1}{2}] - 12[x + 20]$ એ વિવૃત અંતરાલ $(-20, 20)$ માં કેટલા બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી?