यदि {I_n} = int_{ - n}^n {{{tan }^2}{x}dx} ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया है ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx}$.चूंकि $\{x\}$ एक $1$ आवर्तकाल वाला फलन है,इसलिए $\int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx} = 2n

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${I_1}{I_2} = 8\left( {{{\sec }^2} 1 - 2 - {I_1}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx}$.चूंकि $\{x\}$ एक $1$ आवर्तकाल वाला फलन है,इसलिए $\int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx} = 2n \int_0^1 {{{	an }^2}x dx}$ होगा।समाकलन का मान: $\int_0^1 {{{	an }^2}x dx} = \int_0^1 {({{\sec }^2}x - 1)dx} = [	an x - x]_0^1 = 	an 1 - 1$.अतः,${I_n} = 2n(	an 1 - 1)$.$n=1$ के लिए,${I_1} = 2(	an 1 - 1)$.$n=2$ के लिए,${I_2} = 4(	an 1 - 1) = 2{I_1}$.तब ${I_1}{I_2} = {I_1}(2{I_1}) = 2{I_1}^2 = 2[2(	an 1 - 1)]^2 = 8{(	an 1 - 1)^2}$.वर्ग का विस्तार करने पर: $8({	an ^2}1 - 2	an 1 + 1) = 8({{\sec }^2}1 - 1 - 2	an 1 + 1) = 8({{\sec }^2}1 - 2	an 1)$.चूंकि ${I_1} = 2	an 1 - 2$,इसलिए $2	an 1 = {I_1} + 2$.यह मान रखने पर: ${I_1}{I_2} = 8({{\sec }^2}1 - ({I_1} + 2)) = 8({{\sec }^2}1 - 2 - {I_1})$.

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

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सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ का मान क्या है?

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