यदि एक वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है और कि | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए $y(0) = 0$ है।स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ है।अंश को $(x-2)^

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$(5, 5)$

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(D) दिया गया है कि वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए $y(0) = 0$ है।स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ है।अंश को $(x-2)^{2} + y + 4$ के रूप में लिखने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^{2} + y + 4}{x-2} = (x-2) + \frac{y}{x-2} + \frac{4}{x-2}$ प्राप्त होता है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण मिलता है: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = (x-2) + \frac{4}{x-2}$।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{-\int \frac{1}{x-2} dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{x-2}$ है।दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = \frac{1}{x-2} \left( (x-2) + \frac{4}{x-2} \right) = 1 + \frac{4}{(x-2)^{2}}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} + C$।शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर: $\frac{0}{-2} = 0 - \frac{4}{-2} + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$।अतः,$\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} - 2$।$(x-2)$ से गुणा करने पर,$y = x(x-2) - 4 - 2(x-2) = x^{2} - 2x - 4 - 2x + 4 = x^{2} - 4x$ प्राप्त होता है।विकल्पों की जाँच करने पर: $x = 5$ के लिए,$y = 5^{2} - 4(5) = 25 - 20 = 5$ है। अतः,वक्र $(5, 5)$ से होकर गुजरता है।

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उस वक्र का समीकरण क्या है जिसका किसी भी बिंदु पर ढाल $y+2x$ है?

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मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ का हल है। यदि $y(1) = 1$ है, तो $y(\sqrt{5})$ से छोटा महत्तम पूर्णांक . . . . . . है।

यदि $\sin x$ रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है,तो $P$ है

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