જો બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તર $(2, 3, -6)$ અને $(3, -4, 5)$ ના પ્રમાણમાં હોય,તો તેમની વચ્ચેનો લઘુકોણ શોધો.

$\text{વિધાન (A)}$: રેખા $L_1$ ના દિકગુણોત્તર $2, 5, 7$ છે અને રેખા $L_2$ ના દિકગુણોત્તર $\frac{4}{\sqrt{19}}, \frac{10}{\sqrt{19}}, \frac{14}{\sqrt{19}}$ છે. રેખાઓ $L_1, L_2$ સમાંતર છે.
$\text{કારણ (R)}$: રેખા $L_1$ ના દિકગુણોત્તર $a_1, b_1, c_1$ છે અને બીજી રેખા $L_2$ ના દિકગુણોત્તર $a_2, b_2, c_2$ છે. રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ સમાંતર હોય જો $a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0$ થાય.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

એક સદિશ $x$ અને $y$ અક્ષ સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ અને $z$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો $\alpha=$

$3-$પરિમાણીય અવકાશમાં એક રેખા $x$ અને $y$ બંને અક્ષો સાથે $\theta \left( 0 < \theta \le \frac{\pi}{2} \right)$ ખૂણો બનાવે છે. તો $\theta$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ કયો અંતરાલ છે?

એક રેખા $y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ $\beta$ અને $\gamma$ પૈકી દરેક,તે રેખા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલા ખૂણાના અડધા છે. તો ખૂણા $\beta$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો.

જો એક ચલ રેખા બે નજીકની સ્થિતિઓમાં દિક્કોસાઇન $l, m, n$ અને $l+\delta l, m+\delta m, n+\delta n$ ધરાવતી હોય,તો સાબિત કરો કે બે સ્થિતિઓ વચ્ચેનો નાનો ખૂણો $\delta \theta$ એ $\delta \theta^{2}=\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.