यदि (x+a)^{n} के विस्तार में 2^{text{nd}},3^{ | vedclass

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Question

(A) पद द्विपद विस्तार सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।$T_2 = {}^{n}C_1 x^{n-1} a = 96$ $(i)$$T_3 = {}^{n}C_2 x^{n-2} a

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$n+1$

Vedclass · Answer

(A) पद द्विपद विस्तार सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।$T_2 = {}^{n}C_1 x^{n-1} a = 96$ $(i)$$T_3 = {}^{n}C_2 x^{n-2} a^2 = 216$ $(ii)$$T_4 = {}^{n}C_3 x^{n-3} a^3 = 216$ $(iii)$$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:$\frac{{}^{n}C_1 x^{n-1} a}{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2} = \frac{96}{216}$ $\Rightarrow \frac{n x}{\frac{n(n-1)}{2} a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow \frac{2x}{(n-1)a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 2(n-1)a$.$(ii)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:$\frac{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2}{{}^{n}C_3 x^{n-3} a^3} = \frac{216}{216}$ $\Rightarrow \frac{\frac{n(n-1)}{2} x}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} a} = 1$ $\Rightarrow \frac{3x}{(n-2)a} = 1$ $\Rightarrow 3x = (n-2)a$.दोनों समीकरणों से:$\frac{9x}{3x} = \frac{2(n-1)a}{(n-2)a}$ $\Rightarrow 3 = \frac{2(n-1)}{n-2}$ $\Rightarrow 3n-6 = 2n-2$ $\Rightarrow n=4$.$n=4$ को $3x = (n-2)a$ में रखने पर $3x = 2a$ प्राप्त होता है,अतः $a = \frac{3}{2}x$.$(i)$ में रखने पर:$4 x^3 (\frac{3}{2}x) = 96$ $\Rightarrow 6x^4 = 96$ $\Rightarrow x^4 = 16$ $\Rightarrow x=2$.अतः $a = \frac{3}{2}(2) = 3$.इस प्रकार,$a+x = 3+2 = 5$. चूँकि $n=4$,$a+x = n+1$.

यदि $(x+a)^{n}$ के विस्तार में $2^{\text{nd}}$,$3^{\text{rd}}$ और $4^{\text{th}}$ पद क्रमशः $96, 216$ और $216$ हैं और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $a+x=$

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यदि $(1+3x-2x^2)^n$ के विस्तार में $x^r$ $(r=0, 1, 2, \ldots, 2n)$ के गुणांकों का योग $128$ है,तो $\sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = $

$^nC_0, ^nC_1, ^nC_2, \dots, ^nC_n$ के संबंधित भार वाले मानों $0, 1, 2, \dots, n$ का माध्य ज्ञात कीजिए।

$\left( \frac{x + 1}{x^{2/3} - x^{1/3} + 1} - \frac{x - 1}{x - x^{1/2}} \right)^{10}$ के विस्तार में,वह पद जिसमें $x$ नहीं है,है:

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