यदि $(z-1-2i)$ का आयाम (amplitude) $\frac{\pi}{3}$ है,तो $z$ का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए $z_{1}$ और $z_{2}$ दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $\overline{z}_{1} = i \overline{z}_{2}$ और $\arg \left( \frac{z_{1}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$ है। तो:

मान लीजिए $z$ और $w$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $\overline{z} + i\overline{w} = 0$ और $\text{arg}(zw) = \pi$ है। तब $\text{arg}(z)$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: यदि $\bar{z}_1$ और $z_2$ के कोणांक (arguments) क्रमशः $\frac{\pi}{5}$ और $\frac{\pi}{3}$ हैं,तो $\arg(z_1 z_2) = \frac{2\pi}{15}$ है। कारण $(R)$: किसी भी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,$\arg(\bar{z}) = \frac{\pi}{2} + \arg(z)$। निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

मान लीजिए $z$,$|z| = 1$ और $z = 1 - \bar{z}$ को संतुष्ट करता है।
कथन $1$: $z$ एक वास्तविक संख्या है।
कथन $2$: $z$ का मुख्य कोणांक (principal argument) $\frac{\pi}{3}$ है।

$\frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i}$ का आयाम (amplitude) है