यदि वृत्त x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 तीन वृत्तों | vedclass

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Question

(D) यह शर्त कि एक वृत्त $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ किसी अन्य वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ को उसके व्यास के सिरों पर काटता है, लंबकोणीयता

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$4f=3g$

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(D) यह शर्त कि एक वृत्त $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ किसी अन्य वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ को उसके व्यास के सिरों पर काटता है, लंबकोणीयता की शर्त $2(gg_{i}+ff_{i})=c+c_{i}$ के समतुल्य है।प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-5=0$ के लिए, $g_{1}=0, f_{1}=0, c_{1}=-5$. शर्त लागू करने पर: $2(g(0)+f(0))=c-5 \Rightarrow c=5$.दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-8x-6y+10=0$ के लिए, $g_{2}=-4, f_{2}=-3, c_{2}=10$. शर्त लागू करने पर: $2(g(-4)+f(-3))=c+10$ $\Rightarrow 2(-4g-3f)=5+10$ $\Rightarrow 4g+3f=-15/2$.तीसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x+2y-2=0$ के लिए, $g_{3}=-2, f_{3}=1, c_{3}=-2$. शर्त लागू करने पर: $2(g(-2)+f(1))=c-2$ $\Rightarrow 2(-2g+f)=5-2$ $\Rightarrow -2g+f=3/2$.समीकरणों $4g+3f=-7.5$ और $-2g+f=1.5$ को हल करने पर:दूसरे समीकरण से, $f=2g+1.5$. पहले में प्रतिस्थापित करने पर: $4g+3(2g+1.5)=-7.5$ $\Rightarrow 10g+4.5=-7.5$ $\Rightarrow 10g=-12$ $\Rightarrow g=-1.2$.तब $f=2(-1.2)+1.5 = -2.4+1.5 = -0.9$.विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $4f = 4(-0.9) = -3.6$ और $3g = 3(-1.2) = -3.6$. अतः, $4f=3g$ सही है।

यदि वृत्त $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ तीन वृत्तों $x^{2}+y^{2}-5=0$, $x^{2}+y^{2}-8x-6y+10=0$ और $x^{2}+y^{2}-4x+2y-2=0$ को उनके व्यास के सिरों पर काटता है, तो

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