यदि दो रेखाओं की दिक्-कोज्याएँ (direction cos | vedclass

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Question

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं: $l+m+n=0$ --- $(i)$ $l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$ $(i)$ से, $n = -(l+m)$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थ

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$\frac{\pi}{3}$

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(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं: $l+m+n=0$ --- $(i)$ $l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$ $(i)$ से, $n = -(l+m)$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$ $l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$ $-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$। इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है। स्थिति $1$: यदि $l=0$ है, तो $(i)$ से, $m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$, तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं। स्थिति $2$: यदि $m=0$ है, तो $(i)$ से, $l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$, तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं। माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं। उनके बीच का कोण $	heta$ सूत्र $\cos 	heta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है। $\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$। $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$। $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$। $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$। अतः, $	heta = \frac{\pi}{3}$।

यदि दो रेखाओं की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) इस प्रकार हैं कि $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$, तो उनके बीच का कोण है

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उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक्-अनुपात समीकरणों $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ को संतुष्ट करते हैं।

$P(2, 3, -1)$ और मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

यदि $O$ मूलबिंदु है और $OP = 3$ है,जिसके दिक्-अनुपात $-1, 2, -2$ हैं,तो $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

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