यदि बिंदु P(1, 2, a) की रेखा L: frac{x-1}{1}= | vedclass

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Question

(A) माना रेखा $L$ है $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = k$। $L$ पर कोई भी बिंदु $(k+1, 2k, k+1)$ है।माना $A$, $L_1$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंद

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$7$

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(A) माना रेखा $L$ है $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = k$। $L$ पर कोई भी बिंदु $(k+1, 2k, k+1)$ है।माना $A$, $L_1$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{b} = \lambda$ के लिए, $L_1$ पर एक बिंदु $(3\lambda+1, 4\lambda+2, b\lambda+a)$ है।चूँकि $A$, $L$ पर स्थित है, हमारे पास $\frac{3\lambda+1-1}{1} = \frac{4\lambda+2}{2} = \frac{b\lambda+a-1}{1}$ है।$\frac{3\lambda}{1} = \frac{4\lambda+2}{2}$ से, हमें $6\lambda = 4\lambda+2 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$ प्राप्त होता है।तब $A = (3(1)+1, 4(1)+2, b(1)+a) = (4, 6, a+b)$।चूँकि $A$, $L$ पर स्थित है, $\frac{4-1}{1} = \frac{6}{2} = \frac{a+b-1}{1} \Rightarrow 3 = 3 = a+b-1 \Rightarrow a+b=4$।माना $B$, $L_2$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $L_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{c} = \mu$ के लिए, $L_2$ पर एक बिंदु $(\mu+1, 4\mu+2, c\mu+a)$ है।चूँकि $B$, $L$ पर स्थित है, $\frac{\mu+1-1}{1} = \frac{4\mu+2}{2} = \frac{c\mu+a-1}{1}$।$\mu = \frac{4\mu+2}{2}$ से, हमें $2\mu = 4\mu+2 \Rightarrow -2\mu = 2 \Rightarrow \mu = -1$ प्राप्त होता है।तब $B = (-1+1, 4(-1)+2, c(-1)+a) = (0, -2, a-c)$।चूँकि $B$, $L$ पर स्थित है, $\frac{0-1}{1} = \frac{-2}{2} = \frac{a-c-1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = a-c-1 \Rightarrow a-c=0 \Rightarrow a=c$।दिया गया है कि $PA = PB$, जहाँ $P(1, 2, a)$, $A(4, 6, a+b)$, और $B(0, -2, a-c)$ हैं।$PA^2 = (4-1)^2 + (6-2)^2 + (a+b-a)^2 = 3^2 + 4^2 + b^2 = 9+16+b^2 = 25+b^2$।$PB^2 = (0-1)^2 + (-2-2)^2 + (a-c-a)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 + (-c)^2 = 1+16+c^2 = 17+c^2$।चूँकि $PA=PB$, $25+b^2 = 17+c^2 \Rightarrow c^2 - b^2 = 8$।चूँकि $a=c$ और $a+b=4$, हमारे पास $c+b=4$ है। तब $c-b = \frac{c^2-b^2}{c+b} = \frac{8}{4} = 2$।$c+b=4$ और $c-b=2$ को हल करने पर, हमें $2c=6 \Rightarrow c=3$ और $b=1$ प्राप्त होता है।तब $a=c=3$। अतः, $a+b+c = 3+1+3 = 7$।

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