જો સમીકરણ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x = 0$,જ્યાં $a_1 \neq 0$ અને $n \ge 2$,નું એક ધન બીજ $x = \alpha$ હોય,તો સમીકરણ $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ નું એક ધન બીજ કેવું હશે?

આપેલ છે કે $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સતત વિકલનીય છે જ્યાં $a < b, f(a) < 0$ અને $f(b) > 0$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો હંમેશા સાચા છે?
$(i)$ $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સીમિત (bounded) છે.
$(ii)$ સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $a < x < b$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(iii)$ $f(x)$ ની $a \le x \le b$ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો એવા બિંદુઓ પર મળે છે જ્યાં $f'(c) = 0$ હોય.
$(iv)$ $a < c < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું છે જ્યાં $f'(c) > 0$ હોય.
$(v)$ $a < d < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $d$ એવું છે જ્યાં $f'(d) < 0$ હોય.

જો $f(x)=(2x-1)(3x+2)(4x-3)$ એ $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોય, તો રોલના પ્રમેયના વિધાનમાં વ્યાખ્યાયિત '$c$' ની કિંમત(ઓ) શોધો.

ધારો કે $f(x)$ અને $g(x)$ એ બે વિધેયો છે જે તમામ $x \ge x_0$ માટે વ્યાખ્યાયિત અને વિકલનીય છે. જો $f(x_0) = g(x_0)$ અને તમામ $x > x_0$ માટે $f'(x) > g'(x)$ હોય,તો:

જો વિધેય $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ એ $[1,3]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે અને $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ હોય,તો $b c=$

રોલનું પ્રમેય $[-1, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = |x|$ માટે લાગુ પડતું નથી કારણ કે