यदि फलन f को f(x) = frac{1}{x} - frac{k - 1}{ | vedclass

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Question

(A) यदि फलन $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और $f(0) = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होगा।अब,$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x \

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$(3, 1)$

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(A) यदि फलन $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और $f(0) = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होगा।अब,$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{k - 1}{e^{2x} - 1} ight)$.$= \lim_{x 	o 0} \left( \frac{e^{2x} - 1 - (k - 1)x}{x(e^{2x} - 1)} ight)$.$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:$= \lim_{x 	o 0} \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \dots) - 1 - kx + x}{x(2x + 2x^2 + \dots)}$.$= \lim_{x 	o 0} \frac{(3 - k)x + 2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots}$.सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $3 - k = 0$,जिससे $k = 3$ प्राप्त होता है।$k = 3$ रखने पर,सीमा $\lim_{x 	o 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$ हो जाती है।अतः,$f(0) = 1$,और क्रमित युग्म $(3, 1)$ है।

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