यदि फलन f(x) = begin{cases} frac{1}{x} log_{e | vedclass

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Question

(A) यदि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{+}} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।सबसे पहले,$RHL$ ज्ञात करते हैं:$\l

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(A) यदि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{+}} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।सबसे पहले,$RHL$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0^{+}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{+}} \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1} = \lim_{x 	o 0^{+}} \frac{\cos(2x) - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1}$.$\cos(2x) - 1 = -2\sin^{2} x$ का उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} 	imes \frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} = \lim_{x 	o 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x (\sqrt{x^{2}+1}+1)}{x^{2}} = -2(1)^{2}(1+1) = -4$.अतः,$k = -4$.अब,$LHL$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{-}} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+\frac{x}{a}}{1-\frac{x}{b}}ight) = \lim_{x 	o 0^{-}} \left[ \frac{\ln(1+\frac{x}{a})}{x} - \frac{\ln(1-\frac{x}{b})}{x} ight]$.$\lim_{u 	o 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:$\frac{1}{a} - (-\frac{1}{b}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.चूंकि $LHL = k$,इसलिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -4$.अंत में,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{k} = -4 + \frac{4}{-4} = -4 - 1 = -5$.

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$k$ का वह मान,जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ k + \frac{2}{5}, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,है:

यदि $f(x) = \begin{cases} kx + 1, & x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $k = $ . . . . . . .

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है और $x = 0$ पर एक अपरिहार्य (irremovable) असांतत्यता रखता है?

फलन $f(x) = \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$,$x = 0$ पर परिभाषित नहीं है। $x = 0$ पर फलन को सतत बनाने के लिए $f(0)$ का मान क्या होना चाहिए?

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