यदि एक त्रिभुज का परिमाप $20$ है और इसके दो शीर्ष $(-5, 0)$ और $(6, 0)$ हैं,तो तीसरे शीर्ष का बिंदु पथ क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ पर विचार करें,जिसके नाभियाँ $S$ और $S_1$ हैं,जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। मान लीजिए $\angle SPS_1 = \alpha$,जहाँ $\alpha < \frac{\pi}{2}$ है। बिंदु $S$ से गुजरने वाली और अतिपरवलय के $P$ पर स्पर्शरेखा के समान ढाल वाली सीधी रेखा,$S_1P$ रेखा को $P_1$ पर काटती है। मान लीजिए $\delta$,$P$ की $SP_1$ रेखा से दूरी है और $\beta = S_1P$ है। तो $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $2x^2 - y^2 = 6$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है

$P(6, 3)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक बिंदु है। यदि बिंदु $P$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $(10, 0)$ पर काटता है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

माना $m_1$ और $m_2$ बिंदु $P(4, 1)$ से अतिपरवलय $H: \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल हैं। यदि $Q$ वह बिंदु है जहाँ से $H$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल $|m_1|$ और $|m_2|$ हैं और वे $x$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड $\alpha$ और $\beta$ बनाती हैं,तो $\frac{(PQ)^2}{\alpha \beta}$ का मान $............$ है।