જો $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$ અને $5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ હોય, તો $\overrightarrow{PQ}$ અને $z$-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન (cosine) શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ $\vec{v}$,જેનો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $1/\sqrt{3}$ છે,તે નીચેનામાંથી કયો છે?

જો $\theta$ એ સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,જ્યાં $|\bar{a}|=4, |\bar{b}|=3$ અને $\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$,તો $|(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b})|^2+4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$ ની કિંમત શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ માં,શિરોબિંદુ $A$ આગળ કાટકાટખૂણે છે. જો $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k},$ $-\hat{i} + 3\hat{j} + p\hat{k}$ અને $5\hat{i} + q\hat{j} - 4\hat{k}$ હોય,તો બિંદુ $(p, q)$ કઈ રેખા પર આવેલું છે?

$A, B, C, D$ એ એક સમતલમાં ચાર બિંદુઓ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ છે,જેથી $(\overline{a}-\overline{d}) \cdot(\overline{b}-\overline{c})=(\overline{b}-\overline{d}) \cdot(\overline{c}-\overline{a})=0$ થાય. તો બિંદુ $D$ એ $\triangle ABC$ નું $\dots$ છે.

$m$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશો $2\bar{i} - m\bar{j} + 3m\bar{k}$ અને $(1 + m)\bar{i} - 2m\bar{j} + \bar{k}$ વચ્ચે બનતો ખૂણો લઘુકોણ હોય?