જો ગણ $A$ અને $B$ ને $A = \{(x, y) : y = e^x, x \in R\}$ અને $B = \{(x, y) : y = x, x \in R\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો:

$[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે અને જ્યારે $m \in \mathbb{Z}$ હોય ત્યારે $[t - m] = [t] - m$ થાય છે. જો $k = 2[2x - 1] - 1$ અને $3[2x - 2] + 1 = 2[2x - 1] - 1$ હોય,તો $f(x) = [k + 5x]$ નો વિસ્તાર શોધો.

એક વિધેય $f : N \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $x \geq 2$ માટે $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+x f(x)=x(x+1) f(x)$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $f(1)=1$ છે. તો $\frac{1}{f(2022)}+\frac{1}{f(2028)}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{\sin x}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)} + \frac{2}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $R$ માં $f(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} [x] & x < 0 \\ |1-x| & x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} e^x - x & x < 0 \\ (x-1)^2 - 1 & x \geq 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો,વિધેય $(f \circ g)(x)$ બરાબર કેટલા બિંદુઓ પર અસતત છે?

ધારો કે $f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$ એવું છે કે જેથી $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે $f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2-\sec^2 \theta}$ થાય. તો $f\left(\frac{1}{3}\right)$ ની કિંમત(ઓ) શોધો.