જો સીધી રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ એ વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ને સ્પર્શતી હોય,તો સાબિત કરો કે $a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha = p^{2}$.

(N/A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા:
$y \sin \alpha = -x \cos \alpha + p$
$y = -x \cot \alpha + \frac{p}{\sin \alpha}$.
અહીં,ઢાળ $m = -\cot \alpha$ અને અંતઃખંડ $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ને ત્યારે જ સ્પર્શે જો $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ હોય.
$m$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{p}{\sin \alpha}\right)^{2} = a^{2}(-\cot \alpha)^{2} + b^{2}$.
$\frac{p^{2}}{\sin^{2} \alpha} = a^{2} \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} + b^{2}$.
બંને બાજુ $\sin^{2} \alpha$ વડે ગુણતા:
$p^{2} = a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha$.
આમ,સાબિત થાય છે કે $a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha = p^{2}$.