यदि सरल रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ वक्र $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को स्पर्श करती है,तो सिद्ध कीजिए कि $a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha = p^{2}$.

(N/A) दी गई रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर:
$y \sin \alpha = -x \cos \alpha + p$
$y = -x \cot \alpha + \frac{p}{\sin \alpha}$.
यहाँ,ढाल $m = -\cot \alpha$ और अंतःखंड $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ है।
हम जानते हैं कि रेखा $y = mx + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को तभी स्पर्श करती है जब $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ हो।
$m$ और $c$ के मान रखने पर:
$\left(\frac{p}{\sin \alpha}\right)^{2} = a^{2}(-\cot \alpha)^{2} + b^{2}$.
$\frac{p^{2}}{\sin^{2} \alpha} = a^{2} \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} + b^{2}$.
दोनों पक्षों को $\sin^{2} \alpha$ से गुणा करने पर:
$p^{2} = a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha$.
अतः,यह सिद्ध होता है कि $a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha = p^{2}$।