જો 1 અને frac{1}{31} ની વચ્ચે n હાર્મોનિક મધ્ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $1$ અને $\frac{1}{31}$ ની વચ્ચે $n$ હાર્મોનિક મધ્યકો $H_1, H_2, \dots, H_n$ છે.તેથી $1, H_1, H_2, \dots, H_n, \frac{1}{31}$ એ હાર્મોનિક શ્

Vedclass · Accepted Answer

$14$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $1$ અને $\frac{1}{31}$ ની વચ્ચે $n$ હાર્મોનિક મધ્યકો $H_1, H_2, \dots, H_n$ છે.તેથી $1, H_1, H_2, \dots, H_n, \frac{1}{31}$ એ હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.તેથી $1, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \dots, \frac{1}{H_n}, 31$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.ધારો કે આ $AP$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પ્રથમ પદ $a = 1$ અને $(n+2)^{th}$ પદ $31$ છે.$a + (n + 2 - 1)d = 31 \implies 1 + (n + 1)d = 31 \implies (n + 1)d = 30 \implies d = \frac{30}{n + 1}$.$k^{th}$ હાર્મોનિક મધ્યક $H_k = \frac{1}{a + kd}$ દ્વારા મળે છે.આપેલ છે કે $\frac{H_7}{H_{n-1}} = \frac{9}{5} \implies \frac{a + (n - 1)d}{a + 7d} = \frac{9}{5}$.$a = 1$ મૂકતા: $\frac{1 + (n - 1)d}{1 + 7d} = \frac{9}{5} \implies 5 + 5(n - 1)d = 9 + 63d$.$5(n - 1)d - 63d = 4 \implies d(5n - 5 - 63) = 4 \implies d(5n - 68) = 4$.$d = \frac{30}{n + 1}$ મૂકતા: $\frac{30(5n - 68)}{n + 1} = 4 \implies 15(5n - 68) = 2(n + 1)$.$75n - 1020 = 2n + 2 \implies 73n = 1022 \implies n = 14$.

Similar Questions

જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $(a + 2b - c)(2b + c - a)(c + a - b)$ ની કિંમત શું થાય?

જો શ્રેણી $\sqrt{3} + \sqrt{75} + \sqrt{243} + \sqrt{507} + \dots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $435\sqrt{3}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણી $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \frac{31}{16} + \dots$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો એક $A.P.$ ના $10$ પદોનો સરવાળો તેના $5$ પદોના સરવાળા કરતાં $4$ ગણો હોય,તો પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવતનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

શ્રેણી $(-8 + 18i), (-6 + 15i), (-4 + 12i), ......$ નું કયું પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક (purely imaginary) છે ($^{th}$ માં)?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module