આકૃતિમાં,બે રેખાખંડો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $P$ પર એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $PA = 6 \, cm$,$PB = 3 \, cm$,$PC = 2.5 \, cm$,$PD = 5 \, cm$,$\angle APB = 50^{\circ}$ અને $\angle CDP = 30^{\circ}$ થાય. તો,$\angle PBA$ નું માપ શોધો. ($^{\circ}$ માં)

ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં,$A-Q-B$,$A-P-C$ અને $A-R-D$ છે. જો $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ અને $\overline{PR} \parallel \overline{DC}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{AR}{AD} = \frac{AQ}{AB}$.

ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં,$P \in \overline{AB}$,$Q \in \overline{BC}$,$R \in \overline{CD}$ અને $S \in \overline{AD}$ એવી રીતે છે કે જેથી $\frac{AP}{AB} = \frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$ થાય. સાબિત કરો કે $\square PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. નીચેના સાબિત કરો:
$(i)$ સંગતતા $AMB \leftrightarrow ABC$ એ સમરૂપતા છે.
(ii) સંગતતા $BMC \leftrightarrow ABC$ એ સમરૂપતા છે.
(iii) સંગતતા $AMB \leftrightarrow BMC$ એ સમરૂપતા છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$A-P-B$ અને $AP = \frac{2}{3} AB$ છે. $\overline{DP}$ એ $\overline{AC}$ ને $Q$ માં છેદે છે. $\Delta APQ$ અને $\Delta CDQ$ ના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર શોધો.

સાબિત કરો કે કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.