$\Delta GBS$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{GS}$ पर एक शीर्षलंब है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM}{SM}$।

(A) $\Delta GBS$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BM \perp GS$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब खींचे जाने पर बनने वाले त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
अतः,$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ और $\Delta BMS \sim \Delta GBS$ है।
$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ से,$\frac{GB}{GS} = \frac{GM}{GB}$,जिसका अर्थ है $GB^{2} = GM \cdot GS$ (समीकरण $1$)।
$\Delta BMS \sim \Delta GBS$ से,$\frac{BS}{GS} = \frac{SM}{BS}$,जिसका अर्थ है $BS^{2} = SM \cdot GS$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM \cdot GS}{SM \cdot GS} = \frac{GM}{SM}$।
अतः,यह सिद्ध हुआ।