$\triangle ABC$ में,यदि $\angle A=90^{\circ}$ है,तो $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=$

समीकरण $\sin^4 x + \cos^4 x + \sin 2x + \alpha = 0$ का हल संभव है,यदि

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $a \cos \theta + b \sin \theta = c$ के दो भिन्न मूल हैं, जहाँ $a, b, c$ तीन वास्तविक स्थिरांक हैं और $\theta \in [0, 2\pi]$ है। तब, $\alpha + \beta$ भी उसी समीकरण का एक मूल है, यदि

$\triangle ABC$ में,यदि $b=10$,$a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = 15$ और त्रिभुज का क्षेत्रफल $15\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है,तो $\cot \frac{B}{2} =$

मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ $2$ इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। यदि कोण $A, B$ और $C$ के $3$ समद्विभाजकों को वृत्त को क्रमशः $A_1, B_1$ और $C_1$ पर काटने के लिए बढ़ाया जाता है,तो $\left[\frac{AA_1 \cos \frac{A}{2} + BB_1 \cos \frac{B}{2} + CC_1 \cos \frac{C}{2}}{\sin A + \sin B + \sin C}\right]^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई $A.P.$ में है और सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है,तो इस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का अनुपात क्या है: