एक त्रिभुज XYZ में,मान लीजिए x, y, z क्रमशः क | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $\frac{s-x}{4} = \frac{s-y}{3} = \frac{s-z}{2} = k$.तब $s-x = 4k, s-y = 3k, s-z = 2k$.इनका योग करने पर: $3s - (x+y+z) = 9k \Rightarrow

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$A, B, C, D$

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(D) दिया गया है $\frac{s-x}{4} = \frac{s-y}{3} = \frac{s-z}{2} = k$.तब $s-x = 4k, s-y = 3k, s-z = 2k$.इनका योग करने पर: $3s - (x+y+z) = 9k \Rightarrow 3s - 2s = 9k \Rightarrow s = 9k$.अतः,$x = 5k, y = 6k, z = 7k$.अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \frac{8\pi}{3} \Rightarrow r^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.$\Delta = rs = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $r^2 s^2 = s(4k)(3k)(2k) = s(24k^3)$.चूंकि $s=9k$,$r^2 s^2 = 9k(24k^3) = 216k^4$. साथ ही $r^2 s^2 = \frac{8}{3} (81k^2) = 216k^2$.इसलिए $216k^4 = 216k^2 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$.अतः $s = 9, x = 5, y = 6, z = 7$.क्षेत्रफल $\Delta = rs = \sqrt{\frac{8}{3}} 	imes 9 = 3\sqrt{8} 	imes 3 = 6\sqrt{6}$. (विकल्प $A$ सही है)।परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{xyz}{4\Delta} = \frac{5 	imes 6 	imes 7}{4 	imes 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$. (विकल्प $B$ सही है)।$\sin \frac{X}{2} \sin \frac{Y}{2} \sin \frac{Z}{2} = \frac{r}{4R} = \frac{\sqrt{8/3}}{4 	imes (35\sqrt{6}/24)} = \frac{2\sqrt{2}/\sqrt{3}}{35\sqrt{6}/6} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} 	imes \frac{6}{35\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{2}}{35\sqrt{18}} = \frac{12\sqrt{2}}{35 	imes 3\sqrt{2}} = \frac{4}{35}$. (विकल्प $C$ सही है)।$\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}ight) = \cos^2 \frac{Z}{2} = \frac{1+\cos Z}{2}$. $\cos Z = \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} = \frac{25+36-49}{2 	imes 5 	imes 6} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ का उपयोग करते हुए।इसलिए $\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}ight) = \frac{1+1/5}{2} = \frac{6/5}{2} = \frac{3}{5}$. (विकल्प $D$ सही है)।

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